BLOQUE II: COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

 2.- ENUNCIA LOS CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Criterio LAL (LADO-ANGULO-LADO)

 El primer criterio de igualdad entre triángulos afirma que si dos lados se un triangulo del ángulo que forma son iguales respectivamente alas de un segundo triangulo, ambos son congruentes o iguales.


Criterio LLL (LADO-LADO-LADO)


El segundo criterio expresa que si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, ambos triángulos son correspondientes o iguales entre sí.


Criterio ALA (ANGULO-LADO-ANGULO)


El tercer criterio afirma que si dos triángulos tienen un lado y dos ánulos iguales, entonces son triángulos congruentes o iguales.


Comprende la relación de igualdad que existe entre los elementos de triangulos congruentes.

 2.1. En equipo de 4 resuelve problemas de triángulos aplicando sus propiedades y postulados del libro: matemáticas 2. Autor: Joaquín Ruiz basto pag.24 y 25

2.2. Mediante la observación representa triangulo ubicados en el medio que lo rodea y resuelve problemas prácticos aplicando los criterios de congruencia de triángulos.

 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

· Realiza una investigación de los postulados de hilbert y elabora un cuadro sinóptico con las ideas principales de ellos, entrega este cuadro a tu asesor para obtener una retroalimentacion.Posteriormente comenta en clase y con todo el grupo porque son importantes estos postulados para el estudio de la congruencia.

POSTULADOS DE HILBERT

Grupo I: Postulados de conexión.
I-1. Hay una y sólo una recta que pasa por dos puntos distintos dados
I-2. Toda recta contine al menos dos puntos distintos, y respecto a una recta hay al menos un punto que no está en ella.

Grupo II: Postulados de orden.
II-1. Si el punto Cestá entre los puntos A y B, entonces A, B y C están todos sobre la misma recta, y C está entre ByA, y B no está entre Cy A, y A no está entre C y B.
II-2. Respecto a dos puntos distintos cualesquiera, A y B hay siempre un punto C que está entre A y B,y un punto D que es tal que B está entre A y D.
II-3. Si A,B y C son tres puntos distintos sobre la misma recta, entonces uno de esos puntos está entre los otros dos.

Grupo III: Postulados de congruencia.
III-1. Si Ay B son puntos distintos y si A´es un punto que está sobre una recta m, entonces hay dos y sólo dos puntos distintos, B´ y B´´, sobre m tales que el par de puntos A´, B´ es congruente al par A, B y el par de puntos A´, B´´ es congruente al par A, B; además A ‘está entre B´y B´´.
III-2. Si dos pares de puntos son congruentes al mismo par de puntos, entonces son congruentes entre sí.
III-3. Si el punto C está entre lso puntos Ay B y el C´ está entre A´y B´, y si el par de puntos A, C es congruente al par A´, C´, y el par de puntos C, B es congruente al par C´, B´, entonces el par de puntos A, B es congruente al par A´, B´.

Grupo IV: Postulado de las paralelas.
IV-1. (Postulado de Playfair).Por un punto dado Aque no está en una recta m pasa a lo más una recta que no corta a m.

Grupo V: Postulados de continuidad.
V-1. (Postulado de Arquímedes).Si A,B, C, D son puntos distintos, entonces hay, sobre el rayo AB, un conjunto finito de puntos distintos, A1, A2,…, An tal que 1) cada uno de los pares A, A1; A1, A2;…; An-1, An es congruente al par C,D; y 2) B está entre A y An.
V-2. (Postulado de Completitud). Los puntos de una recta constituyen un sistema de puntos tales que no puede asignarse ningún nuevo punto a la recta sin que se viole al menos uno de los nueve postulados I-1, I-2, II-1, II-2, II-3, II-4, III-1, III-2, V-1.

· Investiga sobre el tema de congruencia y desarrolla lo que se pide a continuación: Complementa la siguiente descripción:

Dos triángulos son congruentes cuando:Cuando todos sus ángulos y lados son iguales

 2.2. Criterios de congruencia

Estudiamos los criterios de congruencia, lee junto con tu asesor la siguiente información, analícenla y resuelve lo que se pide.

Criterio LAL (LADO-ANGULO-LADO)

El primer criterio de igualdad entre triángulos afirma que si dos lados se un triangulo del ángulo que forma son iguales respectivamente alas de un segundo triangulo, ambos son congruentes o iguales

El lado MN es ___igual_____ al lado ___PO______

El lado __NO______ es igual al lado ___OR_____

El Angulo __M_____ es___igual_______ al <P

En conclusión, el MNO es __Igual____________ o _____congruente_________ al POR.

CRITERIO LLL (lado-lado-lado)

El segundo criterio expresa que si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, ambos triángulos son Correspondientes o iguales entre sí. Revisa las siguientes figuras, mide los lados de cada una y determina si son correspondientes o iguales.

¿Cuales lados son iguales?

___AB__ = __FD___ ,__BC___ = __DE___, _AC____ = __FE___

CRITERIO ALA (Angulo-lado-Angulo)

El tercer criterio afirma que si dos triángulos tienen un lado y dos ángulos iguales, entonces son triángulos congruentes o iguales.

< A = < D; AC = DF; < C = < F; luego ABC = DEF

sintesis angulos y triangulos

ANGULOS

Es la abertura que está formada por dos segmentos para llegar a un mismo origen llamado “vértice”, esos segmento se llaman lados. Los ángulos se nombran por una letra mayúscula situada en el vértice. En ocasiones utilizamos un alera griega dentro del ángulo como:

Existen diferentes tipos de ángulos los cuales se clasifican en:

Angulo Obtuso: mide más de 90° pero menos de 180°.

Angulo Agudo: son los ángulos que miden menos de un ángulo recto ósea menos de 90° pero más de 0°.

Angulo adyacente: son los qué están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.

Angulo Recto: son los ángulos que miden 90° y forman rectas perpendiculares.

Angulo Llano: cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas de una misma recta se llama llano el cual se identifica por 180°.

Angulo Complementario: son dos ángulos que sumandos equivalen a un ángulo recto que mide 90°.

Angulo Suplementario: son un par de ángulos que al sumarlos dan 180°

Opuestos por el vértice: los ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectos opuestos a los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Angulo consecutivo: son los pares de ángulos que tienen un lado en común y ningún punto  más.

Angulo Convexo: se llama ángulo convexo (RNM) ala intercesión del semiplano de borde NM que contiene al punto R y el semiplano de borde NR que contiene el punto M.

Angulo Cóncavo: es el ángulo que se obtiene si se unen los semiplanos del ángulo convexo.

Ángulos Congruentes: son los ángulos que forman la misma medida.

Ángulos formados por dos rectas al ser cortados por una tercera:

Son dos rectas M y N,  cortados  por una tercera R llamada transversal o secante. Los cuales podemos separar en dos grupos:

ü Ángulos Interiores: son los ángulos situados en la región  comprendida entre las rectas M y N.  son interiores.

ü Ángulos Exteriores: se llaman así los ángulos que están situados fuera de la región comprendida entre la rectas M y N.  son exteriores.

Si tenemos en cuenta su posición con respecto a la secante R podemos distinguir:

ü Ángulos Alternos: son los pares de ángulos situados en distintos semiplanos con respecto a la secante, no son adyacente y ambos son interiores y exteriores. 

ü Ángulos Correspondientes: son los pares de ángulo situados en un mismo semiplano con respecto a la secante, uno es interior y el otro es exterior.

ü Ángulos Conjugados: se llama así a los pares de ángulos situados en un mismo semiplano con respecto a la secante emparejados de manera que ambos sea interiores o exteriores. Cuyas medidas suman los 360°.

TRIANGULOS

Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección son los vértices del triangulo: A, B, C.

Segmentos determinados son los lados del triangulo a, b, c. Los lados forman los ángulos interiores que se nombran con las letras de los vértices. El lado opuesto a un ángulo, se nombra con la misma letra pero minúscula. Un triangulo tiene elementos: 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices.

Es el polígono mas simple y el más fundamental; ya que si tomamos otros polígonos estos los podemos resolver en triángulos.

Una gran propiedad de los triángulos es su rigidez.

CLACIFICACION DE LOS TRIANGULOS

a)          SEGÚN SUS LADOS:

     1.Isósceles: este triangulo tiene dos lados iguales, por tanto igualmente dos ángulos iguales.

2.Equilátero: este triangulo tiene tres lados iguales por lo tanto posee tres ángulos iguales.

3.Escaleno: se le llama triangulo escaleno cuando tiene tres lados distintos.

      b) SEGÚN SUS ANGULOS

         1. Acutángulo: cuando tiene sus tres ángulos agudos.

              2. Rectángulo: cuando tiene un ángulo recto.

Cabe mencionar que el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros dos lados catetos (opuesto y adyacente) como se observa en la imagen de arriba.

      4.Obtusángulo: cuando uno de sus lados es obtuso.

Bibliografia:

Enciclopedia interactiva de los conocimientos

MM Oceano grupo editorial S.A.

milanesat, 21-23

EDIFICIOO OCEANO

08017 Barcelona ( España)

PRECEPTOR interactivo ENCICLOPEDIA TEMATICAESTUDIANTIL

MMI OCEANO GRUO EDTITORIAL, S.A.

MILANESAT, 21-23

EDIFICIO OCEANO

08017 barcelona(España)

Baldor, Aurelio. Geometría y Trigonometría. México: Publicaciones Cultural.

criterios de congruencia

BLOQUE II: COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

2.- ENUNCIA LOS CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Criterio LAL (LADO-ANGULO-LADO)

El primer criterio de igualdad entre triángulos afirma que si dos lados se un triangulo del ángulo que forma son iguales respectivamente alas de un segundo triangulo, ambos son congruentes o iguales.

Criterio LLL (LADO-LADO-LADO)

El segundo criterio expresa que si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, ambos triángulos son correspondientes o iguales entre sí.

Criterio ALA (ANGULO-LADO-ANGULO)

El tercer criterio afirma que si dos triángulos tienen un lado y dos ánulos iguales, entonces son triángulos congruentes o iguales.

Comprende la relación de igualdad que existe entre los elementos de triangulos congruentes.

mate II libro joaquin ruiz basto

1.- en los siguientes figuras allb, mlln y vllw ¿Cuáles pares de ángulos son?
Correspondientes:
Fig. ab:
angulo 1 y 5

angulo 6 y 2
angulo 8 y 4
angulo 7 y 3

Alternos internos:
Fig. ab:
angulo 6 y 4
angulo 1 y 7
Fig. mn:
angulo 2 y 5
angulo 4 y 6

Alternos externos:
Fig. ab:
angulo 5 y 3
angulo 2 y 8
Fig. mn:
angulo 4 y 1
angulo 2 y 6

2.- las rectas s, p, v, y q de la figura son paralelas, determina el valor de v y w a partir de la figura del dato proporcionado:
w= 150°

v=30°







3.- en la figura abllcd y adllce ¿Cuánto mide el ángulo 1y 2?
angulo 1= 20°
angulo 2= 50°

4.- ¿Cuánto mide ángulo x y ángulo y si los lados de los triángulos son paralelas?

x=53°
y= 38°

5.- los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos. Argumenta porque en tales casos son iguales o suplementarios

a) en este caso los dos ángulos son iguales ya que si ponemos uno sobre otro son idénticos.
b) Son iguales.
c) Son suplementarios porque si los colocamos en una recta forman un ángulo llano.




6.- ¿Por qué son paralelas dos rectas cuando ambos son perpendiculares a una tercera recta?

Porque si no fuera perpendiculares las dos rectas no fueran paralelas formando ángulos de 90°.

7.- los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente. Argumenta por que en tales casos son iguales o suplementarios.

a) En este caso son ángulos suplementarios y ya que si los movemos de manera correcta forman un ángulo de 180°.
b) En este caso son iguales ya que si los comparamos en los dos ángulos va a dar la misma cantidad.
c) Suplementarios: porque si formamos una sola recta la suma de los dos es igual a un ángulo llano.

clasificacion de triangulos y angulos

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

1.    SEGÚN SUS LADOS:

1.1 Isósceles

 Se le llama así al que tiene dos lados iguales; al tercero se le llama base. Los ángulos en la base del triangulo isósceles son iguales; recíprocamente, si dos ángulos de un triangulo son iguales,  los dos opuestos a dichos ángulos también serán iguales.

1.2 equilátero

 Es el que tiene sus tres lados iguales. Como un triangulo equilátero es isósceles para cualquiera de sus lados, resulta que los tres ángulos de un triangulo equilátero son iguales: recíprocamente, si los tres ángulos de un triangulo son iguales, el triangulo es equilátero.

1.3 escaleno

Cuando un triangulo tiene sus tres lados distintos entre si, se llama escaleno.

2.    SEGÚN SUS ÁNGULOS

2.1 acutángulos

Se le conoce así a los triángulos que tienen sus tres ángulos agudos.

2.2 rectángulo

Cuando uno de sus es recto, se le llama rectángulo.

2.3 obtusángulo

Se le llama así a los triángulos que tengan uno de sus lados es obtuso.

ÁNGULOS

1.0  ANGULO CÓNCAVO

 

Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores.

2.0  ANGULO LLANO

Cuando los lados de dos semirrectas de una misma recta, el ángulo se llama llano. El ángulo coincide entonces con el semiplano cuyo borde es la recta determinada por sus lados.

Que son equivalentes a 180⁰

       

  3.0 Ángulos rectos:

Son dos semirrectas de origen común O y supongámoslas prolongada hasta

α

µ

£

β

Formar dos rectas, a y b, que se cortan en O y que dividen al plano en cuatro regiones, α, β, µ y £, cada una de ellas correspondientes a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales, se dice que cada uno de ellos es un ángulo recto y que sus lados son perpendiculares. Por extensión, las rectas a y b se llama también perpendiculares.

Que son equivalentes a 90⁰

  4.0 ÁNGULOS OBLICUOS:

α

β

Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se les llama oblicuas. A esos ángulos que no son rectos se le llama oblicuos.

Se clasifican en:

4.1 Agudos: si son menores que un recto.

 

4.2 Obtusos: si son mayores que un recto.

          

             

 5.0 ÁNGULOS CONSECUTIVOS.

Son los pares de ángulos que tiene un lado en común y ningún otro punto más.

          

 6.0 ÁNGULOS ADYACENTES:

β

α

Son los que tienen un lado en común y los otros dos son segmentos opuestos; son un caso particular de ángulos consecutivos.

           7.0 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

α + β = 90⁰

β

α

Son dos ángulos cuya suma es igual a un recto, o sea. 90⁰.

         

  8.0 ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:

β

α + β = 18O⁰

α

Son dos ángulos cuya suma es igual a dos rectos o sea, 180⁰.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

        

        

    9.0 OPUESTOS POR EL VÉRTICE

µ

α

£

β

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los laos del otro.

            

 10.0 ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS AL SER CORTADAS POR UNA TERCERA.

£ʹ

µʹ

βʹ

αʹ ʹ´ʹ

µ

α

£

β

Son dos rectas m y n, cortadas por una tercera, llamada transversal o secante. Los cuales se dividen en dos grupos:

10.1Ángulos interiores i internos

Son los ángulos sitiados en la región comprendida entre las rectas m y n

10.2Ángulos exteriores o externos

Se lama así los ángulos que están situados fuera de la región comprendida entre las rectas m y n.

Si tenemos en cuenta su posición con respecto a la secante r, podemos distinguir:

10.3Ángulos alternos

Son los pares de ángulos situados en distinto semiplano con respecto a la secante, no son adyacentes y ambos son internos y externos

10.4Ángulos correspondientes

Son los pares de ángulos situados en un mismo semiplano con respecto a la secante, uno es interior y otro es exterior.

10.5Ángulos conjugados

Se llama así a los pares de ángulos situados en un mismo semiplano con respecto a la secante, emparejados de manera que ambos sean interiores o exteriores.